กําลังสองสมบูรณ์สูตรโดยเฉพาะของพหุนามฐานสำคัญในการศึกษาสอบ

02/04/2025

กําลังสองสมบูรณ์ สูตร: เข้าใจง่าย พร้อมตัวอย่าง และวิธีนำไปใช้ในการแก้สมการ

การเรียน คณิตศาสตร์ โดยเฉพาะเรื่องของ พหุนาม และ สมการกำลังสอง เป็นพื้นฐานสำคัญที่ใช้ทั้งในการศึกษาและการสอบแข่งขัน เช่น O-NET, PAT1 หรือแม้กระทั่งในชีวิตจริง วันนี้เราจะมาเจาะลึกเรื่อง กำลังสองสมบูรณ์ หรือที่หลายคนเรียกกันว่า สูตรกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งเป็นหนึ่งในหัวข้อสำคัญของ พหุนามและการแยกตัวประกอบ

🔷 กำลังสองสมบูรณ์ คืออะไร?

กำลังสองสมบูรณ์ (Perfect Square) คือ รูปแบบหนึ่งของพหุนามที่สามารถเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปกำลังสองของพจน์เดียวได้อย่างลงตัว ตัวอย่างเช่น:

$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$

รูปแบบนี้เราเรียกว่า กำลังสองสมบูรณ์ เพราะเมื่อนำ (x + y)^2 มาขยาย จะได้พหุนามด้านซ้ายพอดี

🔷 สูตรกำลังสองสมบูรณ์ที่ควรรู้

มี 2 สูตรหลัก ที่ต้องจำให้แม่นสำหรับการใช้งานในการแยกตัวประกอบ หรือการแก้สมการ ได้แก่:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

🔸 สังเกต: สูตรนี้ใช้ได้กับทั้งตัวแปร ตัวเลข และพจน์ผสม (ตัวแปร + ค่าคงที่)

🔷 วิธีใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์

ให้ดูจากลักษณะของพหุนาม ถ้ามี 3 พจน์ที่ประกอบไปด้วย:

พจน์แรกเป็น กำลังสองของจำนวนหนึ่ง
พจน์ที่สามเป็น กำลังสองของอีกจำนวนหนึ่ง
พจน์กลางเป็น 2ab หรือ -2ab

ก็สามารถใช้ สูตรกำลังสองสมบูรณ์ ได้ทันที!

🔷 ตัวอย่างที่ 1: แปลงพหุนามเป็นกำลังสองสมบูรณ์

โจทย์:

$x^2 + 6x + 9$

วิเคราะห์:

$x^2$ เป็นกำลังสองของ $x$
$9$ เป็นกำลังสองของ $3$
$\cdot x \cdot 3$

ดังนั้น:

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

🔷 ตัวอย่างที่ 2: แก้สมการด้วยกำลังสองสมบูรณ์

โจทย์:

$x^2 + 10x + 25 = 0$

แปลงรูป:

$5)^2 = 0 \Rightarrow x + 5 = 0 \Rightarrow \boxed{x = -5}$

🔷 ข้อควรระวัง

อย่ารีบใช้สูตรหากยังไม่ได้ ตรวจสอบ ว่า พจน์กลางตรงกับ $2 ab$ จริงหรือไม่ เพราะถ้าพลาดแม้แต่นิดเดียว การแปลงจะคลาดเคลื่อน

🔷 สรุปสั้นๆ จำง่าย

รูปพหุนาม	แปลงเป็นกำลังสองสมบูรณ์
$a^2 + 2ab + b^2$	$a + b)^2$
$a^2 – 2ab + b^2$	$a – b)^2$

🔷 ประโยชน์ของกำลังสองสมบูรณ์

ใช้ในการแยกตัวประกอบพหุนาม
ใช้ในการแก้สมการกำลังสอง
ใช้ในการพิสูจน์หรือแปลงสูตรในระดับสูง
ลดขั้นตอนในการคำนวณเชิงพีชคณิต

🔷 ลิงก์อ้างอิงจากแหล่งทางการ

หากต้องการศึกษาหลักสูตรและแนวข้อสอบที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้ สามารถดูได้ที่เว็บไซต์ สสวท. (สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี):
https://www.ipst.ac.th