กําลังสามสมบูรณ์สูตร ในทางคณิตศาสตร์ สามารถแยกตัวประกอบขยาย?

02/04/2025

ความหมายของกำลังสามสมบูรณ์

กำลังสามสมบูรณ์ (Perfect Cube) คือผลลัพธ์ของการยกกำลังสามของพจน์ใดพจน์หนึ่ง เช่น

$b)^3, \quad (x – y)^3$

ในทางคณิตศาสตร์ การรู้ สูตรกำลังสามสมบูรณ์ อย่างแม่นยำ จะช่วยให้สามารถแยกตัวประกอบหรือขยายพจน์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ เป็นพื้นฐานสำคัญของการเรียน พีชคณิต และการสอบคณิตศาสตร์ระดับมัธยมจนถึงระดับมหาวิทยาลัย

สูตรกำลังสามสมบูรณ์

1. สูตรกำลังสามสมบูรณ์ของผลบวก

$a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

คำอธิบาย:
เป็นการยกกำลังสามของผลบวกสองพจน์ โดยมีโครงสร้างสำคัญคือ

พจน์กำลังสามของแต่ละตัว (a³, b³)
พจน์ที่มีสัมประสิทธิ์ 3 ที่มาจากการคูณพจน์แบบไขว้ (3a²b, 3ab²)

2. สูตรกำลังสามสมบูรณ์ของผลต่าง

$a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$

คำอธิบาย:
สูตรนี้ใช้กับการยกกำลังสามของพจน์ที่เป็นผลต่าง โดยโครงสร้างเหมือนสูตรแรก แต่สลับ เครื่องหมายลบ ให้เหมาะสมกับพจน์ที่ถูกยกกำลัง

วิธีจำสูตรกำลังสามสมบูรณ์

เริ่มและจบด้วยพจน์ยกกำลังสาม (a³ และ b³ หรือ -b³)
พจน์กลางมีสัมประสิทธิ์ 3 เสมอ
ใช้หลักการแจกแจงพจน์ ตามลำดับความมากของ a ลดลง และ b เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างโจทย์กำลังสามสมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 1:
ขยาย $2x + 3)^3$

วิธีทำ:

ใช้สูตร $a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ โดย

a = 2x
b = 3

แทนค่า:

$3)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3) + 3(2x)(3)^2 + 3^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27$

คำตอบ:

$3)^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27$

ความสำคัญของกำลังสามสมบูรณ์ในการเรียนคณิตศาสตร์

ใช้ในการ แยกตัวประกอบพหุนาม
พื้นฐานของ สูตรแปลงทางตรีโกณมิติ และ สมการกำลังสาม
ช่วยในการทำความเข้าใจ กราฟของฟังก์ชันพหุนาม

เทคนิคการใช้สูตรให้แม่นยำ

ท่อง สูตรพื้นฐาน ให้ขึ้นใจ
ฝึก ทำโจทย์ซ้ำหลายแบบ
สังเกต รูปแบบของพจน์ ว่าเข้ากับสูตรใด

สรุป

กำลังสามสมบูรณ์ เป็นหนึ่งในหัวข้อที่นักเรียนต้องเข้าใจอย่างลึกซึ้ง เพื่อสามารถต่อยอดไปยังเนื้อหาคณิตศาสตร์ขั้นสูงได้ ไม่ว่าจะเป็นพีชคณิต มัธยมปลาย หรือคณิตศาสตร์แคลคูลัส

การรู้จัก สูตร (a ± b)^3 ทั้งในแง่โครงสร้างและวิธีใช้งาน จะทำให้การคำนวณสมการที่ซับซ้อนกลายเป็นเรื่องง่าย